«Математические рукописи» составляют значительную (около тысячи страниц) часть рукописного наследия Карла Маркса, в котором нашли отражение его занятия математикой. Посвящены они в основном выяснению сущности дифференциального исчисления.
Энгельс в своей речи на похоронах Маркса в 1883 г. утверждал, что Маркс сделал в области математики открытия. Не спеша с ходу соглашаться с Энгельсом, который вообще-то в своей деятельности был не слишком близок к математике, всё же попробуем оценить математическое наследие Маркса с современных позиций.

Предложенное Марксом объяснение смысла главных понятий и методов дифференциального исчисления позволяет и сейчас глубже разобраться в сущности ряда понятий математики и математической логики.

Интерес к математике появился у Маркса в связи его работой над Капиталом. Тем не менее первые записи по математике датируются тетрадями с 1846 г., т.е. Марксу тогда не было ещё и 30 лет. Позднее в письме Энгельсу Маркс писал:

«…Дело в следующем: ты знаешь таблицы, среди которых цены, учетный процент и т. д. представлены в их движении в течение года и т. д. в виде восходящих и нисходящих зигзагообразных линий. Я неоднократно старался — для анализа кризисов — вычислить эти up and downs как неправильные кривые и думал (да и теперь ещё думаю, что с достаточно проверенным материалом это возможно) математически вывести из этого главные законы кризисов.»

Итак, главным стимулом для проникновения в математику Марксу служила экономика. Тем не менее насколько серьёзно Маркс «проникал» в математику, говорят сами за себя его тысячестраничные рукописи.

Очень быстро «арифметика» экономики, заключавшаяся в прогулках по таблицам цифр, подсчете процентов и рисовании зигзагов роста и падения цен, прекратила удовлетворять Маркса. Потребовался переход к дифференциальному исчислению, только и способному отразить настоящую динамику экономических процессов. Если угодно, этого требовал диалектический подход. Тем не менее тут-то и появились принципиальные затруднения, которые не могли не возникнуть у такого выдающегося мыслителя, как Маркс.

Маркс, по большей части, усомнился в методологических основах дифференциального исчисления. В самом деле, основа всего математического анализа — представление о переменных величинах. Размышления Маркса о сути переменных величин образно отразил Энгельс в своем «Анти-Дюринге»:

«Когда в математику были введены переменные величины и когда их изменяемость была распространена до бесконечно малого и бесконечно большого, — тогда и математика, вообще столь строго нравственная, совершила грехопадение: она вкусила от яблока познания, и это открыло ей путь к гигантским успехам, тем не менее вместе с тем и к заблуждениям. Девственное состояние абсолютной значимости, неопровержимой доказанности всего математического навсегда ушло в прошлое; наступила эра противоречий, и мы дошли до того, что большинство людей дифференцирует и интегрирует не потому, что они понимают, что они делают, а просто потому, что верят в это, потому, что до сих пор результат всегда получался правильный».

Естественно, что Маркс, с его знаменитым лозунгом «подвергай всё сомнению», не мог примириться с этим. Употребляя его же слова, можно сказать, что «и здесь, как и всюду», для него было важно «сорвать с науки покров тайны».

Что такое «переменная величина» в математике вообще? Спустя сто с лишним лет это остается одним из самых трудных для понимания понятий. Это признавал и известный математик, поднявшийся, подобно Марксу, до философских обобщений математических принципов, Бертран Рассел. На в этот день насчитывается по меньшей мере шесть различных смыслов этого понятия, то есть единодушия у математиков и сейчас не просматривается. По этой причине рукописи Маркса и в этот день представляют существенный интерес. Это тем более было важно, что переход от элементарной математики к математике переменных величин практически должен был носить диалектический характер, а Маркс считал своим долгом показать, как материалистическая диалектика используется не только в общественных науках, тем не менее и в естествознании и в математике. Вскрыть же диалектику перехода к математике переменных величин можно было, только целиком разобравшись, в чем состоит «тайна, окружающая те величины, которые используются в исчислении бесконечно малых — дифференциалы и бесконечно малые различных порядков».

Маркс обратился к изучению основ матанализа, т.е. к работам основоположников дифференциального и интегрального исчисления. Он ориентировался на книги, по которым велось преподавание математики в Кембриджском университете. Вспомним, что именно там кафедру высшей математики в своё время возглавлял Ньютон, и его традиции свято, с исключительным английским педантизмом, соблюдались более ста лет. В 20-х—30-х годах XIX века в Кембридже образовалось сообщество молодых математиков, затеявших острую борьбу против догматического восприятия ньютоновского наследия, требовавшего, чтобы каждая задача решалась непосредственно с начала, без подведения её под какую-нибудь более общую задачу, опирающуюся на уже разработанный аппарат исчисления. Кроме того, традиции Ньютона требовали сохранения всех обозначений и терминов типа «флюэнт» и «флюксий». Понятно, что это не очень-то способствовало развитию матанализа, при всём том, что к середине XIX века английская научная школа в значительной мере утратила лидирующие позиции в математике в свете появления гениальных мыслителей во Франции, Германии и России. Заметим также, что Ньютон по большому счету был всё-таки больше физиком, чем математиком, и те принципы матанализа, которые были позже взяты на вооружение во всем мире, больше использовали наследие не Ньютона, а его современника Лейбница. Соответственно и Маркс углубился в изучение матанализа по курсу французского аббата Сори, построенного по Лейбницу и написанному в его обозначениях.

Со свойственной ему основательностью Маркс окрестил дифференциальное исчисление по Ньютону и Лейбницу «мистическим». Почему он пришёл к такому заключению?

Маркс расценил как наиболее неясные и не определённые с достаточной строгостью понятия предела и бесконечно малой величины. Специфичной чертой методов Ньютона и Лейбница явилось, по Марксу, то обстоятельство, что их творцы не видели «алгебраических» корней дифференциального исчисления: они начинали непосредственно с его оперативных формул, происхождение которых оставалось неясным и даже таинственным, а само исчисление выступало как самостоятельный, отличный от обыкновенной алгебры способ вычисления. Соответствующих разъяснений в трудах Ньютона и Лейбница он не нашёл и обратился к работам более поздним, где надеялся эти разъяснения получить. Прежде всего, это были труды Эйлера, Даламбера и Лагранжа, кроме того, математиков калибром поменьше, выписки из которых присутствуют в конспектах Маркса. Интересно, что особое внимание Маркса привлекли работы Тейлора и Маклорена, которые вроде бы популяризировали Ньютона, а на самом деле делали упор на разложение функций в степенные ряды, вместе с тем фактически уходили от понятия предела, обрывая ряд на определённом члене разложения. То есть, разложение в ряд Тейлора или Маклорена только в пределе, при бесконечно большом числе членов ряда, представляет функцию точно, тем не менее на практике такое представление никогда не применяется — ряд обрывается на каком-то числе членов, дающем приемлемую для выбранной задачи точность. При этом пропадает и «мистика», которая привела в такое неподдельное раздражение Маркса, когда он читал о пределах и бесконечно малых величинах. Особенно внимательно Маркс отнёсся к работам Лагранжа, который существенно продвинул вперёд по сравнению с классическими трудами Тейлора и Маклорена теорию разложения функций в ряды. В самом деле, Лагранж при этом не использовал понятия предела и бесконечно малой величины, и Маркс было обрадовался, что «мистика» Ньютона и Лейбница преодолена. Известно, что Лагранж сформулировал теорему о разложении в ряд выражения f (x+h) в результате, что

f(x) = ph + qh² + rh³ +…,

где p, q, r … — коэффициенты при степенях h — новые функции от x, независимые от h и «произведенные» из f(x).

Марксу это очень понравилось, и он замечал по этому поводу:

«Подлинные и в силу этого простейшие взаимосвязи нового со старым открываются всегда лишь после того, как это новое само приобретёт уже завершённую форму, и можно сказать, что в дифференциальном исчислении это возвращение (отнесение) назад было осуществлено теоремами Тейлора и Маклорена. По этой причине только Лагранжу пришла в голову мысль свести дифференциальное исчисление к строго алгебраической форме».

Тем не менее его радость была недолгой, хотя и позволила назвать метод Лагранжа «алгебраическим», в отличие от «мистического». Маркс быстро выяснил, что и у Лагранжа преодоление трудностей, связанных с символическим аппаратом дифференциального исчисления, не достигается. Доказательства своей теоремы, в сущности, сформулированной недостаточно корректно и в силу этого не позволяющей провести доказательство с необходимой строгостью, Лагранж не дал. И Маркс разочарованно пишет:

«Данный скачок из обыкновенной алгебры в алгебру переменных принимается за свершившийся факт, он не доказывается и, первым делом, противоречит всем законам обыкновенной алгебры».

Что же делать?

Маркс обратился к теореме о кратных корнях алгебраических уравнений, отыскание которых по существу связано с последовательным дифференцированием исходного уравнения. Отмечая, что Лагранж сумел доказать теоремы Тейлора и Маклорена «чисто алгебраически», т.е. без помощи дифференциального исчисления, Маркс возвращается к биномиальной теореме Ньютона и её связи с Тейлором и Маклореном. Фактически Маркс размышляет над проблемой возможности представления непрерывной функции в дискретном виде. Тем не менее ведь в это время тот классический анализ, который в этот день изучается в высшей школе и служит предметом презрительной оценки уровня нерадивых студентов: «он даже дифференцировать не умеет!» — ещё только создавался!

Маркс не мог быть знаком с трудами Вейерштрасса, Дедекинда, Кантора, тем более — великого Гильберта, благодаря которым выстроилась и теория чисел, и теория множеств, и теория пределов, и функциональный анализ. Тем важнее то обстоятельство, что Маркс, не имея возможности опираться на труды выдающихся математиков — своих современников — старался решать те же проблемы, что и они, и его идеи насчет дискретизации непрерывных функций актуальны и в этот день.

Суть дела — в оперативной роли символов счисления. Если один и тот же вычислительный процесс применять многократно, то для всего этого процесса целесообразно выбрать некий особый символ, обозначающий кратко всю, как выражался Маркс, «стратагему» действий. Первичным при этом является сам процесс, который, в противоположность вводимому для него символическому обозначению, является, по Марксу, реальным (а не «мистическим»).

Почему введение нового символа именно в этом случае является целесообразным? Потому, отвечает Маркс, что это даёт возможность не выполнять всякий раз заново нужный нам процесс, а, пользуясь тем, что мы умеем выполнять его в некоторых не вызывающих сомнения случаях, сводить выполнение его в более сложных случаях к выполнению в этих простых. Для этого нужно только, изучив закономерности рассматриваемых процессов, установить некоторые общие правила оперирования с новыми символами, позволяющие производить такое сведение. Тем не менее в этом случае и получается исчисление, оперирующее уже с новыми символами, т.е., по выражению Маркса, «вступаем на его собственную почву». И Маркс подробно выясняет «диалектику оборачивания метода», связанную с переходом к символическому исчислению, правила которого позволяют не от «реального» процесса переходить к символу, а, наоборот, для символа искать соответствующий ему «реальный» процесс, делать символ оперативным, предписывающим «стратагему действий». Это составляет содержание главных работ Маркса, написанных уже в 1881 году и посланных Энгельсу: «О понятии производной функции» и «О дифференциале».

Отметим ещё раз: Маркс не был знаком с современным строгим определением понятий действительного числа, предела и непрерывности. Тем не менее, по-видимому, он не был бы удовлетворен этими определениями, даже если бы был знаком с ними.

Маркс усиленно искал «реальный» процесс отыскания производной функции, т,.е. алгоритм, позволяющий, во-первых, ответить на вопрос о том, существует ли у данной функции производная, и, во-вторых, эффективно найти её, если она существует. Как мы знаем, такие задачи разрешимы не для всяких функций. Один из таких «хороших» классов функций — класс аналитических функций, разложимых в степенные ряды. Тем самым Маркс точно попал в данный класс, выясняя возможность «алгебраического» дифференцирования и обобщая результаты Даламбера и Лагранжа.

Мы видим, что в своих математических работах Маркс дает наглядный пример того, в чем должно состоять применение методов материалистической диалектики даже к такой вроде бы наиболее абстрактной науке, как математика.

Тем не менее наследие Маркса необходимо понимать существенно глубже, чем просто анализ истоков дифференциального исчисления. Практически дела, Маркс предвосхитил развитие дискретной математики. Тяготение внести «алгебраический» смысл в исчисление переменных величин противоречило тогдашним тенденциям развития математики, хотя сама по себе дискретная математика существенно старше математики переменных величин.

Фундаментальным достижением теории множеств явилось доказательство несчётности множества действительных чисел, данное Кантором. Казалось бы, это провело чёткую грань между дискретностью и непрерывностью, хотя далеко не весь математический «истэблишмент» однозначно принял теорию Кантора. До сих пор не решена «проблема континуума», т.е. нет однозначного ответа на вопрос о том, существует ли множество «промежуточной» размерности между «континуумом» (множеством действительных чисел) и множеством рациональных чисел, которое можно отождествить по размерности с множеством натуральных чисел (такие множества получили название счётных). Кстати, Кантор, поразивший мир открытиями в области теории множеств, закончил свои дни в сумасшедшем доме. А ведь «проблема континуума» являет собой поиск связи между дискретной и «непрерывной» математикой, и до появления ЭВМ эта связь была, в общем-то, на втором плане.

Положение коренным образом изменилось с созданием ЭВМ. Такие вроде бы абстрактные области математики, как математическая логика, общая алгебра, формальные грамматики стали прикладными для составления алгоритмических языков, на которых пишут программы для ЭВМ. Приложения к экономике поставили перед математиками новые классы проблем, относящихся к целочисленному программированию. Из области, интересовавшей во времена Маркса разве что составителей занимательных задач и находившей применение в расшифровках древних письменностей, дискретная математика превратилась в область, находящуюся на магистральных путях развития науки.

Особое значение методы дискретной математики приобрели в современных аспектах прикладной математической статистики. Физические явления, рассматриваемые в инженерных задачах, описываются, обычно, функциями времени, называемыми реализациями процесса. Явления, будущее поведение которых с приемлемой для данных условий точностью можно предсказать или на основе прошлых наблюдений, или из общефизических соображений, называют детерминированными. Тем не менее многие явления, с которыми приходится иметь дело на практике, не подходят под это определение. Для них каждая серия измерений дает свою специфическую реализацию, которая не повторяет предыдущих и сама не повторяется в будущем. Главное — при всех попытках предсказания мы не в состоянии выдержать требуемую точность. Такие процессы и порождающие их явления называют случайными, или стохастическими. Иначе говоря, непредсказуемость конкретной реализации преодолевается рассмотрением всех имеющихся реализаций.

Разработка методов регистрации, описания и анализа экспериментальных данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений, составляет предмет математической статистики.

Все задачи математической статистики касаются вопросов обработки результатов наблюдений (и, следовательно, результатов измерений) массовых случайных явлений. В зависимости от характера решаемого практического вопроса и от объёма имеющегося экспериментального материала эти задачи имеют возможность принимать ту или иную форму.

Если будущее поведение реализации, полученной в результате эксперимента, нельзя предсказать с точностью, лежащей в пределах ошибок измерения, то нужно рассматривать весь ансамбль реализаций, соответствующий изучаемому процессу.

Явления, с которыми приходится иметь дело на практике, проходят в реальном, т.е. непрерывном, времени. По этой причине для полного их описания следует рассматривать, вообще говоря, бесконечное множество реализаций. Тем не менее это на практике невозможно. Следовательно, для реализации случайного процесса в некоторый момент времени в будущем или для другого опыта никакое численное значение не может быть вычислено по точной формуле, тем не менее должно быть описано в вероятностных терминах. При этом ключевым становится само определение вероятности. Очевидно, что классическое определение вероятности, основанное на нахождении отношения числа опытов с желаемым исходом к общему числу опытов, не годится — в нём общее число опытов конечно. По этой причине приемлемо только статистическое определение вероятности, определяемое как предел частоты наступления желаемого события при стремлении числа испытаний к бесконечности. Тем не менее число реализаций при усреднении по ансамблю или длина реализации при усреднении по времени всегда конечны. Это означает, что переход к пределу при N→∞ или при Т→∞ на самом деле невозможен. Следовательно, на практике можно получать лишь некоторые оценки искомых величин, а не их истинные значения. Ошибки оценивания имеют важное значение для интерпретации и практического использования результатов анализа.

Мы встречаемся здесь с проблемой, аналогичной той, над которой столь серьёзно размышлял Маркс: как представить непрерывную, т.е. недоступную реальным измерениям, величину через дискретный ряд чисел, доступных измерениям. Для этого существует достаточно детально разработанный аппарат финитного преобразования Фурье, при котором интегрирование по времени, приводящее к анализу частотного спектра исследуемой величины, сводится к суммированию ряда. Дискретизация процедуры вычисления образа Фурье для конечного времени реализации позволяет перейти к цифровой методике и алгоритмизации вычисления для ЭВМ. При этом справедлива фундаментальная теорема Котельникова, утверждающая, что в области цифровой обработки сигналов любую функцию F(t), занимающую интервал частот от 0 до f₁, можно непрерывно передавать с любой точностью с помощью чисел, следующих друг за другом через 1/(2f₁)секунд.

Казалось бы, теорема Котельникова подчёркивает невозможное: отображает непрерывное, т.е. континуальное, множество на дискретное, т.е. счётное. Тем не менее противоречия здесь нет: речь идёт о точности представления непрерывного распределения через дискретное, вместе с тем при должном выборе интервала дискретности эта точность может быть сколь угодно велика. Это целиком соответствует представлению любого действительного числа как предела некоторой последовательности рациональных чисел, вместе с тем при выборе достаточно большого числа членов последовательности точность представления может быть сколь угодно большой.

Не правда ли, это наиболее созвучно мыслям Маркса об «алгебраическом» дифференцировании и корректности представления функций в виде разложения в степенные ряды? Также, изначальный посыл Маркса к изучению математики, например, экономика, отобразился в этот день в магистральности дискретной математики для решения экономических задач.

Тем не менее было бы неплохо добавить ещё и то, что мысли Маркса о некорректности сопоставления непрерывных и дискретных представлений функций носят не менее революционный характер, чем его знаменитое учение о прибавочной стоимости и обречённости капиталистического мироустройства. Ведь основная парадигма капитализма — установление денежного эквивалента любых ценностей как личности, так и общества — изначально является бессмыслицей, потому как множество нужд, управляющих всем образом жизни, несчётно (сколько бы ни перечислялись эти потребности, всегда можно указать хотя бы одну, не включенную в это множество, причём это носит диалектический характер), а множество денег всегда разумеется, как бы велико оно ни было. То есть гигантский труд Маркса и Энгельса, выразившийся в четырех томах «Капитала» и опровергнувший справедливость общественного устройства, основанного на стоимости, должен иметь продолжение в виде модели общественного устройства, основанного на потребительной стоимости.

В результате, утверждение Энгельса над могилой Маркса, что Маркс сделал открытия в области математики, следует признать вполне справедливым. Гений остаётся гением во всём.

По материалам сайта КПРФ